17/06/2023

Bài tập toán cao cấp ma trận có lời giải, bài tập ma trận có lời giải

Đại số ma trận được nghiên cứu và phát triển một cách hệ thống vào năm 1858 bởi Arthur Cayley đem đến nhiều ứng dụng hữu ích. Bài viết dưới đây TTnguyen sẽ chia sẻ kiến thức cơ bản cùng các dạng bài tập ma trận có lời giải chi tiết giúp các bạn ôn tập dễ dàng.

Bạn đang xem: Bài tập toán cao cấp ma trận có lời giải

1. Ma trận là gì?

Hầu hết một dãy số hình chữ nhật được gọi là ma trận, và các số được gọi là các phần tử ma trận. Ma trận thường được ký hiệu bằng chữ cái in hoa: A,B,C

Ma trận cỡ m x n là 1 bảng số hình chữ nhật gồm m hàng, n cột
Kí hiệu ma trận : A = (aij) m x n
Ví dụ dưới đây là một ma trận:

Ma trận có nhiều hình dạng khác nhau tuỳ thuộc vào số hàng và cột. Ví dụ ma trận trên có 3 hàng và 3 cột. Thường thì ma trận với m hàng và n cột thường được gọi là ma trận m x n. Với ma trận có kích thước 1 x n được gọi là ma trận hàng, ma trận có kích thước m x 1 được gọi là ma trận cột. Ma trận cỡ n x n được gọi là ma trận vuông.

Phần tử của ma trận được xác định bởi hàng và cột của nó. Các hàng được đánh số từ trên xuống dưới, và các cột được đánh số từ trái qua phải. Do đó, phần tử (i,j) của ma trận là phần tử hàng i, cột j.

Với ma trận A là ma trận 3×4 có aij. Thì ma trận A được biểu thị như sau:

Tóm lại:

Nếu ma trận cỡ m x n, thì nó có m hàng và n cột.Phần tử ma trận aij nghĩa là phần tử nằm ở hàng i cột j.

2. Các ma trận đặc biệt

a. Ma trận 0: các phần tử đều bằng 0

b. Ma trận đường chéo: Ma trận vuông mà các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0

c. Ma trận đơn vị: Ma trận có các phần tử đường chéo =1

d. Ma trận tam giác trên: Ma trận vuông mà các phần tử nằm dưới đường chéo chính =0

e. Ma trận chuyển vị của A:

f. Các tính chất của ma trận

g. Ma trận bậc thang

Nếu các hàng = 0 thì phải ở dưới cùng
Nếu các hàng ≠ 0 thì phần tử đầu tiên của hàng dưới phải lệch sang phải phần tử ≠ 0 đầu tiên hàng trên

4. Phép cộng 2 ma trận

Nếu A và B là 2 ma trận cùng cỡ, thì ma trận A + B được tính bằng cách cộng các phần tử cùng vị trí.

Lưu ý: Không cộng 2 ma trận khác kích cỡ.

Tính chất:

Với A, B, C là ma trận bất kỳ cùng cỡ thì: A+B = B+A ; A+(B+C) = (A+B)+CMa trận nào cộng với ma trận không cũng bằng chính nó: 0+X=XPhép trừ ma trận: A-B được xác định bởi: A-B=A+(-B)

Ví dụ 1: Tính -A, A-B và A+B-C các ma trận sau:

Giải

Ví dụ 2: Tìm ma trận X sau:

Giải

5. Phép nhân 2 ma trận

5.1 Nhân ma trận với 1 số bất kỳ

Nếu A là một ma trận bất kỳ và k là một số bất kỳ thì ma trận k
A được tính bằng cách nhân từng phần tử của ma trận A với k

Ví dụ nhân ma trận với 1 số:

Lưu ý:

Nếu A là một ma trận bất kỳ, thì ma trận k
A có kích cỡ giống A và: 0A=0 ; k0=0

5.2 Cách nhân 2 ma trận

Muốn nhân ma trận A với ma trận B thì phải có điều kiện:

số cột ma trận A bằng số hàng ma trận B

Lấy phần tử đứng ở hàng i cột j trong ma trận A, ta lấy lần lượt từng phần tử đứng ở hàng i trong ma trận A nhân vớitừng phần tử tương ứng đứng ở cột j trong ma trận B rồi cộng lại.

Ví dụ:

1.1+1.3 = 4 1.2+1.4=6 1.3+1.4=7

3.1+7.3=24 3.2+7.4=34 3.3+7.4=37

6. Định lý

Với A, B và C là ma trận cỡ m x n bất kỳ. Với k và p là số thực bất kỳ thì có định lý của ma trận:

A+B=B+AA+(B+C) = (A+B)+CMa trận 0 cỡ m x n thì 0 + A = AVới mỗi A là ma trận bất kỳ cỡ m x n, -A thì A +(-A)=0k(A+B)=k
A+k
B(k+p)A=k
A+p
A(kp)A=k(p
A)1A=A

Các dạng bài tập ma trận và cách giải

1.Tìm ma trận A thoả mãn:

2. Bài tập nhân 2 ma trận toán cao cấp

3. Bài tập ma trận bậc thang có lời giải

Ví dụ: Đưa ma trận sau về ma trận bậc thang:

Bài viết này wu.edu.vn giới thiệu đến bạn đọc lý thuyết và hạng của ma trận kèm các ví dụ và phân loại các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao về hạng của ma trận:

Các dạng toán về ma trận nghịch đảo và phương pháp giải

Định nghĩa hạng của ma trận

Xét ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{m\times n}}.$ Đặt $A_i^d = ({a_{i1}},{a_{i2}},...,{a_{in}});A_j^c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1j}}} \\ {{a_{2j}}} \\ {...} \\ {{a_{nj}}} \end{array}} \right).$ Hạng của ma trận $A$ là hạng của hệ véctơ dòng $\left\{ A_{1}^{d},A_{2}^{d},..,A_{m}^{d} \right\}$ và cũng chính là hạng của hệ véctơ cột $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}.$ Được kí hiệu là $r(A).$

Định thức con của ma trận và mối quan hệ với hạng của ma trận

Hạng của một hệ véctơ

Các tính chất về hạng của ma trận

a) $r(A)=r({A}");$

b) Nếu $A$ là một ma trận vuông cấp $n$ khi đó $r(A)=n\Leftrightarrow \det (A)\ne 0,$ dựa vào tính chất này chúng ta có thể dùng định thức để tìm hay biện luận hạng của một ma trận vuông;

c) Nếu $A$ là một ma trận vuông cấp $n$ khi đó hệ véctơ dòng (hệ véctơ cột) của ma trận $A$ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi $r(A)=n.$

Tổng hợp đề thi và giải chi tiết Đề Giữa kì Đại số tuyến tính Đại học bách khoa Hà Nội học kì 20191Tổng hợp đề thi và giải chi tiết Đề Giữa kì Giải tích 1 Đại học bách khoa Hà Nội học kì 20191

1. Tìm hạng của ma trận cho trước

Để tìm hạng của ma trận cho trước ta có thể sử dụng phép biến đổi Gauss hoặc sử dụng định thức bao quanh (định thức con chính cấp k của ma trận). Cùng xem các ví dụ sau:

Câu 1:Tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 2&{ - 1}&3&1&3 \\ 3&2&0&{ - 1}&2 \\ 2&3&{ - 4}&0&{ - 2} \end{array}} \right).$

Giải.Ta có:

$\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 2&{ - 1}&3&1&3 \\ 3&2&0&{ - 1}&2 \\ 2&3&{ - 4}&0&{ - 2} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} - 2{d_1} + {d_2} \\ - 3{d_1} + {d_3} \\ - 2{d_1} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&5&{ - 3}&5 \\ 0&2&3&{ - 7}&5 \\ 0&3&{ - 2}&{ - 4}&0 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} 2{d_2} + {d_3} \\ 3{d_2} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&5&{ - 3}&5 \\ 0&0&{13}&{ - 13}&{15} \\ 0&0&{13}&{ - 13}&{15} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} 2{d_2} + {d_3} \\ 3{d_2} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&5&{ - 3}&5 \\ 0&0&{13}&{ - 13}&{15} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

Vậy $r(A)=3.$

Câu 2:Cho $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình ${{t}^{3}}-2019t+4=0,$ tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right).$

Giải. Theo vi – ét có $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ và \<\det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + z}&{x + y + z}&{x + y + z} \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right|({d_1} + {d_2} + {d_3}) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right| = 0.\>

Do đó $r(A)\le 2.$ Mặt khác $D_{12}^{12}=xz-{{y}^{2}}\Rightarrow y
D_{12}^{12}=xyz-{{y}^{3}}=-4-{{y}^{3}}=-2019y\Rightarrow D_{12}^{12}=-2019\ne 0.$

Vậy $r(A)\ge 2\Rightarrow r(A)=2.$

Câu 3:Tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ { - 2}&4&2 \\ 2&5&7 \end{array}} \right).$

Giải.Ta có:

Vậy $r(A)=3.$

Câu 4:Tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4 \\ { - 1}&3&0&1 \\ 2&4&1&8 \\ 1&7&6&9 \\ 0&{10}&1&{10} \end{array}} \right)$ bằng phương pháp định thức bao quanh.

Giải. Có $D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \\ { - 1}&3 \end{array}} \right| = 5 \ne 0;D_{123}^{123} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \\ { - 1}&3&0 \\ 2&4&1 \end{array}} \right| = - 25 \ne 0;$

Kiểm tra các định thức cấp 4 bao quanh định thức $D_{123}^{123}$ có

$D_{1234}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4 \\ { - 1}&3&0&1 \\ 2&4&1&8 \\ 1&7&6&9 \end{array}} \right| = 0;D_{1235}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4 \\ { - 1}&3&0&1 \\ 2&4&1&8 \\ 0&{10}&1&{10} \end{array}} \right| = 0.$ Vậy $r(A)=3.$

Câu 5:Tìm hạng của ma trận \ bằng phương pháp định thức bao quanh.

Giải. Có \

Ta xét các định thức cấp 5 bao quanh định thức cấp 4 trên

\ Vậy $r(A)=4.$

Câu 6:Tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 3&4&5&{...}&{n + 2} \\ 4&5&6&{...}&{n + 3} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {n + 1}&{n + 2}&{n + 3}&{...}&{2n} \end{array}} \right).$

Giải.Ta có

\<\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 3&4&5&{...}&{n + 2} \\ 4&5&6&{...}&{n + 3} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {n + 1}&{n + 2}&{n + 3}&{...}&{2n} \end{array}} \right)\xrightarrow{{ - {d_i} + {d_{i + 1}}(i = 1,2,...,n - 1)}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 1&1&1&{...}&1 \\ 1&1&1&{...}&1 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 1&1&1&{...}&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{ - {d_i} + {d_{i + 1}}(i = 2,...,n - 1)}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 1&1&1&{...}&1 \\ 0&0&0&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&0&{...}&0 \end{array}} \right) \Rightarrow r(A) = 2. \hfill \\ \end{gathered} \>

Câu 7:Tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3&0 \\ 2&{ - 1}&1&{ - 1}&4 \\ 3&1&3&1&5 \\ { - 1}&3&{ - 2}&1&{ - 10} \end{array}} \right).$

Giải.Có $D_{1234}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3 \\ 2&{ - 1}&1&{ - 1} \\ 3&1&3&1 \\ { - 1}&3&{ - 2}&1 \end{array}} \right| = 45 \ne 0 \Rightarrow r(A) = 4.$

Câu 8:Tìm hạng của ma trận sau$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{...}&{n - 1}&n \\ {n + 1}&{n + 2}&{...}&{n + n - 1}&{2n} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&{{n^2} - 2n + 2}&{...}&{{n^2} - 2n + n - 1}&{{n^2} - n} \\ {{n^2} - n + 1}&{{n^2} - n + 2}&{...}&{{n^2} - n + n - 1}&{{n^2}} \end{array}} \right).$

Giải.Có biến đổi ma trận:

\<\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{...}&{n - 1}&n \\ {n + 1}&{n + 2}&{...}&{n + n - 1}&{2n} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&{{n^2} - 2n + 2}&{...}&{{n^2} - 2n + n - 1}&{{n^2} - n} \\ {{n^2} - n + 1}&{{n^2} - n + 2}&{...}&{{n^2} - n + n - 1}&{{n^2}} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{{\mathbf{i + 1}}}}{\mathbf{,i = 1,2,...,n - 1}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{...}&1&1 \\ {n + 1}&1&{...}&1&1 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&1&{...}&1&1 \\ {{n^2} - n + 1}&1&{...}&1&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{,i = 3,...,n}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{...}&0&0 \\ {n + 1}&1&{...}&0&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&1&{...}&0&0 \\ {{n^2} - n + 1}&1&{...}&0&0 \end{array}} \right) \Rightarrow rank(A) = 2. \hfill \\ \end{gathered} \>

Bài 1: Hệ phương trình Cramer

Bài 2: Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Bài 4: Mô hình Input - Output của Leontief

Bài 5: Mô hình cân bằng thị trường và cân bằng kinh tế vĩ mô

BÀI TẬP ÁP DỤNG TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN CHO TRƯỚC

Tìm hạng của các ma trận sau:

a) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2&1 \\ 1&{ - 1}&{ - 3} \\ 1&1&1 \end{array}} \right);$	b) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&{ - 1}&4 \\ 3&{ - 4}&2&{ - 1} \\ { - 1}&7&{ - 2}&{ - 8} \\ 4&6&{ - 1}&{ - 5} \end{array}} \right);$
c) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1}&3&2&5 \\ 5&{ - 3}&2&3&4 \\ 1&{ - 3}&{ - 5}&0&{ - 7} \\ 7&{ - 5}&1&4&1 \end{array}} \right);$	d) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&5&{ - 1} \\ 2&{ - 1}&{ - 3}&4 \\ 5&1&{ - 1}&7 \\ 7&7&9&1 \end{array}} \right);$
e) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25}&{31}&{17}&{43} \\ {75}&{94}&{53}&{132} \\ {75}&{94}&{54}&{134} \\ {25}&{32}&{20}&{48} \end{array}} \right);$	f) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3&{ - 5}&2&3 \\ 8&6&{ - 7}&4&2 \\ 4&3&{ - 8}&2&7 \\ 4&3&1&2&{ - 5} \\ 8&6&{ - 1}&4&{ - 6} \end{array}} \right).$

Tj15e5a
YR.png" alt="*">

2. Biện luận hạng của ma trận theo tham số

Tương tự như tìm hạng của ma trận cho trước ta có thể sử dụng phép biến đổi Gauss hoặc sử dụngđịnh thức bao quanh(định thức con chính cấp k của ma trận). Nếu ma trận cần biện luận hạng là một ma trận vuông ta có thể biện luận hạng của nó theo định thức của ma trận đó. Cùng xem các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Tìm $m$ để ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&{ - 1}\\ 2&{m + 4}&{ - 2}&{ - 1}\\ 3&{m + 6}&{ - 3}&{m - 3} \end{array}} \right)$có hạng nhỏ nhất.

Ví dụ 2: Tìm $m$ để ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} m&2&{ - 1}&3\\ 2&m&1&2\\ 3&1&2&0 \end{array}} \right)$có hạng nhỏ nhất.

Ví dụ 3: Tìm $a$ để hạng của ma trận sau nhỏ nhất, với $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&4&1\\ a&2&3&1\\ 3&{ - 1}&1&0\\ 3&3&7&2 \end{array}} \right).$

Ví dụ 4: Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ m&1&2&{ - 1}\\ 3&1&{ - 4}&2 \end{array}} \right).$ Chứng minh rằng với mọi $m$ thì $r(A)=3.$

Giải. Có $D_{123}^{234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4\\ 1&2&{ - 1}\\ 1&4&2 \end{array}} \right| = 15 \ne 0 \Rightarrow r(A) = 3,\forall m.$

Ví dụ 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&1&2\\ { - 1}&2&3&4\\ { - 1}&9&{10}&m \end{array}} \right).$

Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&m&{ - 1}&2\\ 2&{ - 1}&m&5\\ 1&{10}&{ - 6}&1 \end{array}} \right).$

Ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&m&3\\ { - 1}&2&1&4\\ 4&3&2&1\\ { - 3}&4&1&2 \end{array}} \right).$

FJNYbc7x1Z.png" alt="*">

Ví dụ 8: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {7 - m}&{ - 12}&6\\ {10}&{ - 19 - m}&{10}\\ {12}&{ - 24}&{13 - m} \end{array}} \right).$

QOJOPPPv
EE.png" alt="*">

Ví dụ 9:Biện luận hạng của ma trận$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&1 \\ 2&m&{ - 1}&2&1 \\ 1&1&{ - 1}&m&{ - 1} \\ 2&3&{ - 1}&2&1 \end{array}} \right).$

Giải.Biến đổi ma trận $A$

+ Nếu $m=3\Rightarrow r\left( A \right)=3$

+ Nếu $m\ne 3\Rightarrow r\left( A \right)=4$

Ví dụ 10: Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2&3\\ { - 1}&1&3&{ - 1}\\ 1&{ - 1}&7&m \end{array}} \right)$ nhỏ nhất.

Pb
RLEKj
Ee.png" alt="*">

Ví dụ 11: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} m&2&2&2\\ 2&m&2&2\\ 2&2&m&2\\ 2&2&2&m \end{array}} \right).$

Giải. Có

$\begin{array}{l} \det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} m&2&2&2\\ 2&m&2&2\\ 2&2&m&2\\ 2&2&2&m \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 6}&2&2&2\\ {m + 6}&m&2&2\\ {m + 6}&2&m&2\\ {m + 6}&2&2&m \end{array}} \right|({c_4} + {c_3} + {c_2} + {c_1})\\ = (m + 6)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2&2\\ 1&m&2&2\\ 1&2&m&2\\ 1&2&2&m \end{array}} \right| = (m + 6)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2&2\\ 0&{m - 2}&0&0\\ 0&0&{m - 2}&0\\ 0&0&0&{m - 2} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} { - d1 + {d_2}}\\ { - {d_1} + {d_3}}\\ { - {d_1} + {d_4}} \end{array} = {(m - 2)^3}(m + 6). \end{array}$

Nếu $\det (A)\ne 0\Leftrightarrow m\notin \left\{ 2,-6 \right\}\Rightarrow r(A)=4;$Nếu $m=2\Rightarrow r(A)=1;$Nếu $m=-6\Rightarrow r(A)=3$ (bạn đọc tự kiểm tra).

Ví dụ 12: Tìm $m$ để ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&{m + 1}\\ 2&{m + 2}&{2m + 1}&{2m + 4}\\ 1&{4 - m}&{m - 1}&{2m - 4} \end{array}} \right)$ có hạng bằng 2.

Ví dụ 13: Tìm số thực $a$ để ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{2 - a}&4&{{a^2}}\\ 1&{1 - a}&2&0\\ 3&{3 - 2a}&{8 - a}&4 \end{array}} \right)$ có hạng bé nhất.

Ví dụ 14. Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&m&0&3\\ m&2&1&2\\ 2&1&{ - 2}&2 \end{array}} \right)$ lớn nhất.

W.png" alt="*">

Ví dụ 15:Tìm $a,b,c$ để hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&0&{a + 1}&b&{ - c} \\ 2&3&{ - 1}&{2b}&{ - a}&{b - 2} \\ 0&{ - 7}&1&c&{2c - 1}&{2a} \end{array}} \right)$ nhỏ nhất.

Giải.Ta có:

$\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&0&{a + 1}&b&{ - c} \\ 2&3&{ - 1}&{2b}&{ - a}&{b - 2} \\ 0&{ - 7}&1&c&{2c - 1}&{2a} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&0&{a + 1}&b&{ - c} \\ 0&7&{ - 1}&{ - 2a - 2 + 2b}&{ - a - 2b}&{b - 2 + 2c} \\ 0&{ - 7}&1&c&{2c - 1}&{2a} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&0&{a + 1}&b&{ - c} \\ 0&7&{ - 1}&{ - 2a - 2 + 2b}&{ - a - 2b}&{b - 2 + 2c} \\ 0&0&0&{ - 2a + 2b + c - 2}&{ - a - 2b + 2c - 1}&{2a + b + 2c - 2} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

Vậy $r{(A)_{\min }} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 2a + 2b + c - 2 = 0 \hfill \\ - a - 2b + 2c - 1 = 0 \hfill \\ 2a + b + 2c - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - \dfrac{1}{9} \hfill \\ b = \dfrac{4}{9} \hfill \\ c = \dfrac{8}{9} \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Ví dụ 16:Cho các số thực dương $a,b$ thoả mãn $a+b>2$ và ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ a&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ b&1&a&1 \end{array}} \right).$Biện luận theo $a,b$ hạng của ma trận $A.$

Giải.Đây là ma trận vuông vậy trước tiên tính định thức của nó:

\<\begin{gathered} \det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ a&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ b&1&a&1 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b + 2}&a&1&b \\ {a + b + 2}&1&b&1 \\ {a + b + 2}&b&1&a \\ {a + b + 2}&1&a&1 \end{array}} \right|\left( {{{\mathbf{c}}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}} \right) \\ = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ 1&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ 1&1&a&1 \end{array}} \right| = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ 0&{1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ 0&{b - a}&0&{a - b} \\ 0&{1 - a}&{a - 1}&{1 - b} \end{array}} \right| \\ = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ {b - a}&0&{a - b} \\ {1 - a}&{a - 1}&{1 - b} \end{array}} \right| = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ {b - a}&0&{a - b} \\ 0&{a - b}&0 \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}} \right) \\ = (a + b + 2)(a - b){( - 1)^{3 + 2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{1 - b} \\ {b - a}&{a - b} \end{array}} \right| = (a + b + 2){(a - b)^2}(a + b - 2). \\ \end{gathered} \>

Do $a+b>2\Rightarrow \det (A)=0\Leftrightarrow a=b.$

+) Nếu $a\ne b\Rightarrow \det (A)\ne 0\Rightarrow r(A)=4.$

+) Nếu $a = b \Rightarrow a = b > 1 \Rightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&a \\ a&1&a&1 \\ 1&a&1&a \\ a&1&a&1 \end{array}} \right);D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a \\ a&1 \end{array}} \right| = 1 - {a^2} 2$ và ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ a&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ b&1&a&1 \end{array}} \right).$Biện luận theo $a,b$ hạng của ma trận $A.$

Đây là ma trận vuông vậy trước tiên tính định thức của nó:

Do $a+b>2\Rightarrow \det (A)=0\Leftrightarrow a=b.$

+) Nếu $a\ne b\Rightarrow \det (A)\ne 0\Rightarrow r(A)=4.$

+) Nếu $a = b \Rightarrow a = b > 1 \Rightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&a \\ a&1&a&1 \\ 1&a&1&a \\ a&1&a&1 \end{array}} \right);D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a \\ a&1 \end{array}} \right| = 1 - {a^2} $r(A)=n\Leftrightarrow r({{A}^{*}})=n;$$r(A)=n-1\Leftrightarrow r({{A}^{*}})=1;$$r(A)\le n-2\Leftrightarrow r({{A}^{*}})=0.$

Chứng minh xem bài giảng tại đây:https://wu.edu.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html

hoặc tại đây:https://askmath.vn/cau-hoi/dinh-li-ve-hang-cua-ma-tran-phu-hop-cho-ma-tran-va-la-ma-tran-phu/d82056f4-cd53-4877-b64b-ad797fc95185

Ví dụ 1:Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&1 \\ { - 3}&4&2&1 \\ 4&{ - 3}&2&1 \\ { - 1}&2&1&3 \end{array}} \right).$ Biện luận theo $m$ hạng của ma trận ${{A}^{*}}$ là ma trận phụ hợp của $A.$

Giải.Ta có:

+) Nếu $m\ne 7\Rightarrow r(A)=4\Rightarrow r({{A}^{*}})=4;$

+) Nếu $m=7\Rightarrow r(A)=3=4-1\Rightarrow r({{A}^{*}})=1.$

4. Dạng toán chứng minh về hạng của ma trận

Ta sử dụng các tính chất về hạng của ma trận sau đây:

$r(A)=r({A}");$$r(A+B)\le r(A)+r(B)$ với $A,B$ là hai ma trận cùng cấp;$r(AB)\le r(A);r(AB)\le r(B)$ với $A,B$ là hai ma trận bất kì sao cho $AB$ tồn tại;$r(A)+r(B)\le r(AB)+n$ với $A,B$ là hai ma trận vuông cùng cấp.

Ví dụ 1: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ thoả mãn ${{A}^{2}}=E.$ Chứng minh rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma trện có:

$\begin{array}{l} r(E - A) + r(E + A) \ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\\ r(E - A) + r(E + A) \le r((E - A)(E + A)) + n = r({E^2} - {A^2}) + n = r(O) + n = n \end{array}$

Vậy $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Ví dụ 2: Cho ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ có ${{a}_{ij}}=0,\forall i=j;{{a}_{ij}}\in \left\{ 1,2019 \right\},\forall i\ne j.$ Chứng minh rằng $r(A)\ge n-1.$

Giải. Xét $B={{({{b}_{ij}})}_{n\times n}},{{b}_{ij}}=1,\forall i,j=1,2,..,n$ khi đó $C=A-B={{({{a}_{ij}}-{{b}_{ij}})}_{n\times n}}={{({{c}_{ij}})}_{n\times n}}$ với \<{{c}_{ij}}=-1,\forall i=j;{{c}_{ij}}\in \left\{ 0,2018 \right\},\forall i\ne j.\>

Do đó $\det (C)-{{(-1)}^{n}}$ chia hết cho 2018, tức $\det (C)\ne 0\Rightarrow r(C)=n.$

Mặt khác $C=A-B\Rightarrow r(C)=r(A-B)\le r(A)+r(-B)=r(A)+1\Rightarrow r(A)\ge n-1.$

Ví dụ 3: Cho ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ có ${{a}_{ij}}=i+j,\forall i,j=1,2,...,n.$ Tìm hạng của ma trận $A.$

Giải. Xét $B={{({{b}_{ij}})}_{n\times n}},{{b}_{ij}}=i,\forall i=1,2,...,n;C={{({{c}_{ij}})}_{n\times n}},{{c}_{ij}}=j,\forall j=1,2,...,n.$

Giải. Ta có $r(B)=r(C)=1$ và $A=B+C\Rightarrow r(A)=r(B+C)\le r(B)+r(C)=2.$

Mặt khác $D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 3&4 \end{array}} \right| = - 1 \ne 0 \Rightarrow r(A) \ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$

Ví dụ 4: Cho hai ma trận $A,B$ vuông cùng cấp sao cho ${{A}^{2}}=A,{{B}^{2}}=B$ và ma trận $E-A-B$ khả nghịch. Chứng minh rằng $r(A)=r(B).$

Giải. Do $E-A-B$ khả nghịch nên$\left\{ \begin{gathered} r(A) = r(A(E - A - B)) = r(A - {A^2} - AB) = r( - AB) \hfill \\ r(B) = r((E - A - B)B) = r(B - AB - {B^2}) = r( - AB) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow r(A) = r(B).$

Ví dụ 5:Cho ma trận vuông $A$ thoả mãn ${{A}^{m}}=O.$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta luôn có $r(A)=r(A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}}).$

Giải.Xét các phương trình $AX=O(1);(A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}})X=O(2).$

Ta chỉ cần chứng minh (1) và (2) có cùng tập nghiệm, khi đó $r(A)=r(A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}})=p-r$ trong đó $p$ là cấp của ma trận $A;$ và $r$ là số chiều không gian nghiệm của hai hệ phương trình.

+) Nếu $A{{X}_{0}}=O\Rightarrow (A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}}){{X}_{0}}=A{{X}_{0}}+A(A{{X}_{0}})+...+{{A}^{n-1}}(A{{X}_{0}})=O.$

+) Nếu $(A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}}){{X}_{0}}=O\Rightarrow A{{X}_{0}}=-({{A}^{2}}+...+{{A}^{n}}){{X}_{0}}=-{{A}^{2}}(E+A+...+{{A}^{n-2}}){{X}_{0}}={{A}^{2}}B{{X}_{0}},$ trong đó $B=-(E+A+...+{{A}^{n-2}}),AB=BA.$

Suy ra \

Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 6:Cho $A$ là ma trận thực cấp $4\times 2$ và $B$ là ma trận thực cấp $2\times 4$ thoả mãn $AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&0 \\ 0&1&0&{ - 1} \\ { - 1}&0&1&0 \\ 0&{ - 1}&0&1 \end{array}} \right).$ Tìm ma trận $BA.$

5. Khảo sát hạng của hệ véctơ dựa trên hạng của ma trận

Hiện tại wu.edu.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Xem thêm: Ngân Hàng Có Làm Việc Chủ Nhật Không, Chủ Nhật Ngân Hàng Có Làm Việc Không

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...